数学クイズ: 3つの一次不等式

数学・プログラミング

私が高校生のときに考えた、数学のクイズです。割とお気に入り。

99 つの実数 ai,bi,cia_i, b_i, c_i (i∈{1,2,3}i \in \{1,2,3\}) をうまくとることで、次の命題を成立させることは可能か？:

「下記の 33 つの □\Box にそれぞれ <\lt もしくは >\gt の不等号を入れて、連立不等式を作ることを考える。

a1x+b1y  □  c1a_1 x + b_1 y \;\Box\; c_1 a2x+b2y  □  c2a_2 x + b_2 y \; \Box \; c_2 a3x+b3y  □  c3a_3 x + b_3 y \; \Box \; c_3

このとき、記号の入れ方は 23=82^3=8 通りあるが、その 88 通りのいずれに対しても、ある x,yx,y が存在して、これら 33 つすべての不等式を満たす。」

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解答: 不可能

ある ii に対して ai=bi=0a_i = b_i = 0 のときは明らかに不可能なので、aia_i と bib_i の少なくとも一方が 00 でないとしてよい。

このとき、式 aix+biy=cia_i x + b_i y = c_i は平面上の直線を表し、不等式 aix+biy<cia_i x + b_i y < c_i および aix+biy>cia_i x + b_i y > c_i はそれぞれその直線の片側の領域を表す。

各不等式が表す領域は、直線によって平面が 22 つに分割されたうちの一方である。したがって、33 つの不等式が同時に成立するためには、33 本の直線が平面を 88 個以上の領域に分割している必要がある。

しかし、33 本の直線が平面を分割できる最大の領域数は 77 である。（一般に、nn 本の直線が平面を分割する最大の領域数が n(n+1)/2+1n(n+1)/2 + 1 である）

1234567

直線が一般位置の位置にあれば、領域数は7。

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